[...] kommen alle Browser mit den per Webdesigner importierten mp4-Dateien klar? [...]
Klare Frage, klare Antwort: "Nein", zumindest nicht ohne eine entsprechendes Plugin
Schau Dir mal in der u. a. Grafik die derzeit geltenden Zuordnungen der Videoformate zu den verbreiteten Browsern an...
Daraus kannst Du unschwer ableiten, dass Dein Problem nicht mit einem Satz zu beantworten ist.
Auf dieser Site, aus der ich auch die o. a. Grafik entnommen habe, findest Du einen gut gemachten Artikel zu dem Thema.
Auch im Forum hatten wir das Thema schon öfter. Hier findest Du meinen Versuch einer Erklärung, die, auch wenn sie vordergründig um HTML5 Videos geht, noch mehr Licht ins Dunkel bringen kann.
Der FF kann zwischenzeitlich auch mp4 (h.264) Videos abspielen, was in der von mir verlinkten Grafik noch nicht zu sehen ist...
Aber wie Du es auch drehst, es gibt derzeit kein Videoformat, das von allen Browsern abgespielt wird.
Dem Vernehmen nach soll das in 2014 besser werden. Dann soll es eine einheitliche Regelung geben, die bewirken soll, dass das "video" Tag von allen (modernen) Browsern richtig interpretiert wird.
Damit wird zwar immer noch kein einheitlicher Standard für ein Videoformat festgelegt, aber man kann zumindest sicher sein, dass die die auf einer Website angebotenen Formate korrekt selektiert- und wiedergegeben werden können.
Nur, was bringt das in der Praxis? Der bisher herrschende Format Wirrwarr bleibt für alle Nutzer älterer Browser weiter bestehen
Stand heute kann man sagen, dass Du Dein Video einem größtmöglichen Besucherkreis zur Verfügung stellen kannst, wenn Du es im mp4 Format- mit h.264 Codec anbietest. Damit können FF, IE, Chrome und Safari umgehen.